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例谈数学抽象思维训练

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例谈数学抽象思维训练
抽象思维是通过分析、综合、比较、抽象概括,获得 概念,形成判断,进行合乎逻辑的推理的思维活动。要掌握 数学中的概念、定理、公式和法则,必须具有一定的抽象思 维能力。笔者现就自己在教学中抽象思维训练的做法谈一些 体会。
一、直观观察,通过实例和语言使学生形成系统的表象, 寻找规律
分析:要求 f(x)=5sin(2x+)的图象关于 y 轴对称,我向学 生提问:要使 y=Asin()的图象关于 y 轴对称,那么 y 轴与其图 象的交点应在图象的什么位置?学生根据正弦曲线的形状 作出判断:应在图象的最高点或最低点。再问:图象的最高 点或最低点对应的横坐标 x 如何求得?学生通过回忆五点法 做图,很快得出:在 x=0 时,,故选 C。完成此题,可进一步 归纳此曲线的对称中心,学生再将正弦函数改为余弦函数, 进一步推导以上两个结论。这样不仅完成了抽象思维的全过 程,而且起到了举一反三的作用。
例 2:直线 AB 与直二面角的两个面分别交于点 A、B, 且 A、B 都不在棱上。设直线 AB 与平面所成的角分别为,则

的取值范围是()。 A、B、 C、D、 分析:画出几何图形,通过对图形观察,利用直线与平
面所成的角是直线与该平面内经过斜足的直线所成的一切 角中最小的角,应选 A。这样,既有直观观察,又有逻辑推 证。
二、形象思维活动向抽象思维活动转化
例 1:一圆锥轴截面的顶角为 120°,过顶点的截面三 角形面积的最大值为 2,则圆锥的侧面积是()
分析:直观观察,学生误以为过顶点的轴截面三角形面 积最大,因而错误较多,这是由于视觉上的误差造成的。不 能只看表象,要从实质上分析。要求学生写出过顶点的截面 三角形面积公式,很快发现时截面三角形面积最大。
例 2:△ABC 中,,判断△ABC 的形状。 分析:条件,且 A、B 为三角形的内角,由此知 A、B 均 为锐角。C 是锐角、钝角、还是直角呢?思路不明确。从结 论分析,若 C 为钝角,则,,而,从而 ,即,满足条件,从而角 C 为钝角,这一抽象思维的过 程可概括为如下方式:若 A 则 B 命题的论证:

,思路不明。 ,当与相同时,思路自通。
三、通过分析、综合、比较、抽象概括,学会逻辑推理 方法
例 3:已知定义域为的函数 f(x)满足以下条件: (1)x>1 时 f(x)



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